Study Belajar Dari Rumah: ✅ Grafik Fungsi Trigonometri Periode Nilai Maksimumminimum Contoh Soal

Periode Fungsi Trigonometri

Fungsi f dengan wilayah R dikatakan periodik apabila ada bilangan $p \ne 0$ , sedemikian sehingga $f(x+p) = f(x)$ , dengan $x \epsilon R$ . Bilangan positif p terkecil yang memenuhi $f(x+p) = f(x)$ disebut periode dasar fungsi f.

Jika fungsi f periodik dengan periode dasar p, maka periode-periode dari fungsi f adalah $n \times p$ , dengan n adalah bilangan asli. Jika f dan g adalah fungsi yang periodik dengan periode p, maka $f+g$ dan fg juga periodik dengan periode p.

1. Periode fungsi sinus dan kosinus

Untuk penambahan panjang busur $a$ dengan kelipatan $2\pi$ (satu putran penuh) akan diperoleh titik p(a) yang sama, sehingga secara umum berlaku :

Dengan demikian, fungsi sinus $f(x) = \sin x$ vatau $f(x) = \sin x^{\circ}$ dan fungsi kosinus $f(x) = cos x$ atau $f(x) = cos x^{\circ}$ adalah fungsi periodik dengan periode dasar $2\pi$ atau $360^{\circ}$ .

grafik fungsi trigonometri sinus dan cosinus

2. Periode fungsi tangen

Untuk penambahan panjang busur $a$ dengan kelipatan $\pi$ (setengah putran penuh) akan diperoleh titik $p(a+k\times p)$ yang nilai tangennya sama untuk kedua sudut tersebut, sehingga secara umum $\tan (a + k \times \pi) = \tan a$ dengan $k \epsilon B$ atau $\tan (a+k\times 1806{\circ}) = \tan a^{\circ}$ dengan $k \epsilon B$ .

grafik fungsi tangen

Dengan demikian tangen $f(x) = \tan x$ atau $f(x) = \tan^{\circ}$ adalah fungsi periodik dengan periode $\pi$ atau $180^{\circ}$ .

Grafik Fungsi Trigonometri

grafik fungsi trigonometri lengkap

Dengan td adalah tidak didefinisikan. Untuk memudahkan, maka lihatlah segitiga berikut :

sudut istimewa segitiga

Dari konsep segitiga tersebut diperoleh nilai setiap sudut $30^{\circ}, 45^{\circ}$ dan $60^{\circ}$ . Untuk sudut $0^{\circ}$ dan $90^{\circ}$ diperoleh dengan cara berikut :

konsep segitiga trigonometri

Didapat :

Jika titik $P(x,y)$ bergerak mendekati sumbu X positif, akhirnya berimpit dengan sumbu X, maka x=r, y=0, $x = r,y = 0$ dan $a^{\circ} =0^{\circ}$ , sehingga

Jika titik P(x,y) $P(x,y)$ bergerak mendekati sumbu Y positif, akhirnya berimpit dengan sumbu Y, maka

$x =0,y = r$ , dan $a^{\circ} = 90^{\circ}$ , sehingga

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Untuk setiap titik P(x,y) $P(x,y)$ pada fungsi trigonometri memiliki hubungan :

Berdasarkan uraian tersebut dapat dikemukakan bahwa :

Nilai maksimum dan minimum fungsi sinusNilai maksimum dan minimum fungsi kosinus

Secara umum dapat dikemukakan bahwa :

Jika fungsi sinus $y = f(x) = a \sin (bx + c) + d$ , maka nilai maksimumnya $y_{maks} = \mid a\mid + d$ dan nilai minimumnya $y_{min} = -\mid a\mid + d$

Jika fungsi kosinus $y = f(x) = a \cos (bx + c) + d$ , maka nilai maksimumnya $y_{maks} = \mid a\mid + d$ dan nilai minimumnya $y_{min} = -\mid a\mid + d$

Jika $y = f(x)$ adalah fungsi periodik dengan nilai maksimum $y_{maks}$ dan minimum $y_{min}$ , maka amplitudonya adalah :

$Amplitudo = \frac{1}{2}(y_{maks}- y_{min})$

Jenis Grafik Fungsi Trigonometri1. Grafik fungsi baku $f(x) = \sin x$ ; $f(x) = \cos x$ ; dan $f(x) = \tan x$

Sinus

grafik fungsi sinus baku

Kosinus

grafik fungsi cosinus baku

Tangen

grafik fungsi tangen baku

2. Grafik fungsi $f(x) = a\sin x$ ; $f(x) = a\cos x$ ; dan $f(x) = a\tan x$

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan absisnya tetap. Periode grafik tetap $2\pi$ untuk kosinus dan sinus. Sedangankan periode tangen $\pi$ .

Sinus

Misalkan $a = 2$ , maka grafiknya :

grafik a sin x

Kosinus

Misalkan $a = 2$ , maka grafiknya

grafik a cos x

Tangen

Misalkan $a = 2$ , maka grafiknya

grafik a tan x

3. Grafik fungsi $f(x) = a\sin kx$ ; $f(x) = a\cos kx$ ; dan $f(x) = a\tan kx$

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan ordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan periode grafik sinus dan kosinus menjadi :

$\frac{2\pi}{\mid k\mid}$

Dan tangen

$\frac{\pi}{\mid k\mid}$

Misalkan $a = 1$ dan $k = 2$ , maka grafiknya

a sin 2x

Misalkan $a = 1$ dan $k = 2$ , maka grafiknya

cos 2x

Misalkan a=1 $a = 1$ dan k=3 $k = 3$ , maka grafiknya

tan 3x

4. Grafik fungsi $f(x) = a\sin(kx\pm b)$ ; $f(x) = a\cos(kx\pm b)$ ; dan $f(x) = a\tan (kx\pm b)$ .

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan absisnya digeser sejauh :

$\frac{b}{k}$

Jika b positif, absis digeser kekiri. Dan jika b negatif, absis digeser kekanan. Sedangkan periode grafik sinus dan kosinus menjadi :

$\frac{2\pi}{\mid k\mid}$

Dan tangen

$\frac{\pi}{\mid k\mid}$

Misalkan $a = 1$ , $k = 1$ , dan $b = +30^{\circ}$ , maka grafiknya

sin kx + b

Misalkan $a = 1$ , $k = 1$ , dan $b = -30^{\circ}$ , maka grafiknya

cos kx - b

5. Grafik fungsi $f(x) = a\sin (kx\pm b) \pm c$ ; $f(x) = a\cos (kx\pm b) \pm c$ ; dan $f(x) = a\tan (kx\pm b) \pm c$ .

Didapat dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat setiap titik pada grafik baku dengan bilangan a, sedangkan absisnya digeser sejauh :

$\frac{b}{k}$

Jika b positif, absis digeser kekiri. Dan jika b negatif, absis digeser kekanan. Koordinat didapat dengan menggeser titik koordinat grafik baku keatas jika c positif dan kebawah jika c negatif. Sedangkan periode grafik sinus dan kosinus menjadi :

$\frac{2\pi}{\mid k \mid}$

Dan tangen

$\frac{\pi}{\mid k\mid}$

Misalkan $a = 1$ , $k = 1$ , $b = 0$ , dan $c = 1$ maka grafiknya sinusnya:

grafik fungsi trigonometri a sin x + b

Contoh Soal Grafik Fungsi Trigonometri dan PembahasanContoh Soal 1

Fungsi $y = 10\sin x - 4$ . Tentukan nilai maksimum, minimum, dan amplitudo fungsi tersebut.

Pembahasan

$y = 10\sin x - 4$

$y_{maks} = \mid 10\mid + (-4) = 6$

$y_{min} = -\mid 10\mid + (-4) = -10 - 4 = -14$

$Amplitudo = \frac{1}{2} (y_{maks} - y_{min}) = \frac{1}{2}(6 -(-14)) = 10$

Contoh Soal 2

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f(x) = 8\sin (x+\frac{3\pi}{2}) \cos x$

Pembahasan

Gunakan : $2\sin a \cos \beta = \sin(a + \beta) + \sin (a - \beta)$

$f(x) = 8\sin(x+\frac{3\pi}{2}) \cos x$ $f(x) = 4 \times 2\sin(x+\frac{3\pi}{2}) \cos x$

$f(x) = 4(\sin(x+\frac{3\pi}{2} - x))$

$f(x) = 4(\sin(2x+\frac{3\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})) = 4(\sin(2x+\frac{3\pi}{2}) - 1)$

$f(x) = 4\sin (2x+\frac{3\pi}{2}) - 4$

Sehingga :

Contoh Soal 3

Bagilah sudut lancip α menjadi 2 bagian, sehingga hasil perkalian kosinus-kosinusnya mencapai nilai maksimum.

Tentukan nilai maksimum itu.

Pembahasan

Misalkan 2 bagian sudut adalah x dan α-x, maka f(x)=cos⁡x cos⁡(α-x). Berdasarkan rumus trigonometri $2\cos a \cos \beta = \cos (a+\beta) + \cos (a -\beta)$ , maka :